В

ОБОБЩЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

В.И. Левин

Пензенский технологический институт

Abstract — A Generalization of Operations with fuzzy Sets are considered.

Введение

Как известно, использование варианта непрерывной логики (НЛ) с несущим множеством и логическими операциями (дизъюнкция), (конъюнкция) и отрицание позволяет обобщить теоретико-множественные операции на случай нечетких множеств [1]

(1)

Здесь - мера принадлежности элемента множеству . Таким образом, мера принадлежности элемента объединению (пересечению) двух нечетких множеств определяется как дизъюнкция (конъюнкция) НЛ мер принадлежности этого элемента каждому отдельному множеству, а мера принадлежности элемента дополнению нечеткого множества равна отрицанию его меры принадлежности этому множеству. Операции объединения и пересечения нескольких нечетких множеств вводятся аналогично (1).

2. Операция композиции нечетких множеств

Операции объединения и пересечения нечетких множеств (1) представляют собой обобщение на случай нечетких множеств известных операций объединения и пересечения обычных множеств, путем использования известных операций НЛ - дизъюнкции и конъюнкции. Между тем, использование новых операций, обобщающих НЛ - т.н. логических определителей (ЛО) позволяет ввести семейство новых операций над нечеткими множествами, не имеющих аналогов среди операций над обычными множествами и более полно отражает расплывчатый характер границ нечетких множеств. Введем обычное конечное множество.

(2)

в котором -й по величине элемент есть , так что . Функцию

(3)

назовем порядковым ЛО ранга и обозначим или . ЛОявляется числовой характеристикой множества , напоминающей определитель квадратной матрицы. Он выражается через свои элементы при помощи операций НЛ в виде (2)

. (4)

Рассмотрим конечную совокупность нечетких множеств

. (5)

Введем над этой совокупностью семейство операций

, (6)

определяемых следующим соотношением мер принадлежностей элемента операндам и результату операции

(7)

Введенную операцию назовем -композицией нечетких множеств . Таким образом, мера принадлежности элемента -композиции нечетких множеств определяется как порядковый ЛО ранга от совокупности мер принадлежности этого элемента отдельным множествам. В частном случае при получаем 1-композицию множеств, совпадающих с их пересечением. В другом частном случае, при получаем -композицию множеств, совпадающих с их объединением. В общем случае, при (который реализуется, если ) -композиция является новой операцией, существенно отличающейся как от объединения, так и от пересечения нечетких множеств. Точнее говоря, эта операция занимает промежуточное положение между операциями объединения и пересечения, что вытекает из очевидных неравенств

(8)

Как видно из (8), операция -композиции нечетких множеств сильнее операции их объединения, но слабее операции их пересечения (т.е. ). При этом по мере увеличения от 1 к "сила" -композиции уменьшается, приближаясь к силе операции объединения множеств, а по мере уменьшения от к 1 эта "сила" возрастает, стремясь к "силе" операции пересечения множеств.

3. Свойства композиции и ее связь с объединением и пересечением нечетких множеств

-композиция нечетких множеств, являясь обобщением операций объединения и пересечения таких множеств, может быть в то же время представлена в виде суперпозиции указанных операций. Действительно, раскрыв ЛО в правой части (7) согласно (4), получаем

(9)

Но согласно (1) конъюнкции (дизъюнкции) мер принадлежности элемента нечетких множеств соответствует пересечение (объединение) этих множеств. Поэтому из (9) следует

(10)

-композиция нечетких множеств удовлетворяет следующим законам: распределительному относительно пересечения и объединения

. (11)

Закону сложной (повторной) композиции

. (12)

4. Заключение

Введенная операция -композиции нечетких множеств не является обобщением операций с обычными множествами и не переходит в них при переходе нечетких множеств в четкие. Она является новой операцией, не имеющей аналогов среди обычных теоретико-множественных операций. Операция -композиции показывает, что между объединением и пересечением множеств нет пропасти, обе они - -композиции с различными значениями индекса . Благодаря существенной новизне операции -композиции появляется возможность более эффективного логического вывода и принятия решений.

Литература

Заде Л. Понятие лингвистической переменной. - М.: Мир, 1978.

Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭВМ. - М.: Наука, 1987.

Site of Information Technologies
Designed by inftech@webservis.ru.